数学公式

Yki-yawa2024-09-232024-10-01

1 函数

概念：定义域、值域、映射（函数是R下的映射）、邻域、去心邻域、分段函数、隐函数、反函数。

函数的基本特性：有界性、单调性、周期性、奇偶性、

基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

取整函数 $ y = [x], \text{不超过最大整数 }x$

狄利克雷函数 \[ D(x) = \begin{cases} 1&x\text{ 一个有理数}\\0&x\text{ 一个无理数} \end{cases} \]

有界性

$f(x)$在$[a,b]$上连续,$f(x)$在$[a,b]$上有界。
$f(x)$在$(a,b)$上连续，$f(x)$且$\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)$和$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)$都存在，则$f(x)$在$[a,b]$上有上界。
有界函数和有界函数的和、积均为有界函数。

奇偶性质

奇函数与奇函数复合为奇函数
奇函数与偶函数复合为偶函数
偶函数与偶函数复合为偶函数
$f(x) = \frac12 [f(x) - f(-x)] + \frac12 [f(x) + f(-x)]$（可以看作一个奇函数和一个偶函数的和）

2 极限

概念：无穷小、高阶无穷小（更小）、同阶无穷小、等价无穷小、无穷大、单侧极限

定义:

数列的极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = a$$\forall \varepsilon \gt 0, \exists N \gt 0, \text{while} \ n \gt N, |x_n - a| \lt \varepsilon$
函数的极限 $\forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0, \text{while} \ 0 \lt |x - x_0| \lt \delta, |f(x) - A| \lt \varepsilon$

性质:

极限存在必唯一
\[\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = a \iff \lim_{n \to \infty} x_{2n} = \lim_{n \to \infty} x_{2n-1} = a\] \[\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = A\]
若$\displaystyle \lim_{x \to \bullet} f(x) = A (\exists)$,则$f(x)$在$x \to \bullet$过程中处处有定义。只要有一个点是无定义点，此极限就不存在。
$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff f(x) - A = a(x), \lim_{x \to x_0} a(x) = 0$
假设$f(x)$单调减少,(增加)且下界(上界),则$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$必存在。
局部保号性：假设$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = A \neq 0$，则存在$x_0$的一个去心邻域，在此邻域内$f(x)$与$A$同号。
局部有界性：假设$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = A$,则存在$M \gt 0$,当$x \to x_0$时,$|f(x)| = M$

计算

思路：优先提取能够计算出来的因子；对分式化成倒三角形；三角代换和倒代换
四则运算法则：同趋向下，可加减乘除、数乘。
有界函数与无穷小的乘积是无穷小。有限个无穷小的和、积均是无穷小。
几个重要的极限 \[\displaystyle \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac 1x} = e\] \[\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^\delta (\ln x)^k = 0, \ \delta \gt 0\] \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^k e^{-\delta x} = 0, \ \delta \gt 0\] \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]n = 1, \ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]a = 1, \ a \gt 0\]
利用等价无穷小进行替换乘除因子。以下常用的等价无穷小$x \to 0$
$\sin x \sim \arcsin x \sim x$（注意$\sin x \lt x \lt \tan x$)
$\tan x \sim \arctan x \sim x$
$1 - \cos x \sim \frac 12 x^2$
$x - \sin x \sim \frac 16 x^3$
$(1 + x)^{ax} -1 \sim ax$
$e^x - 1 \sim x, \ a^x - 1 \sim x \ln a$
$\ln (1 + x) \sim x \rightarrow \ln U \sim U - 1(U \to 1)$
洛必达法则，只有在计算后的极限存在才可用。
泰勒公式。
$\sin x = x - \frac 16 x^3 + \omicron (x^3)$
$\arcsin x = x + \frac 16 x^3 + \omicron (x^3)$
$\tan x = x + \frac 13 x^3 +\omicron (x^3)$
$\arctan x = x - \frac 13 x^3 +\omicron (x^3)$
$\cos x = 1 - \frac 12 x^2 + \frac 1{24} x^4 + \omicron (x^4)$
$(1 + x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}2 x^2 + \omicron (x^2)$
$e^x = 1 + x + \frac 12 x^2 + \frac 16 x^3 + \omicron (x^3)$
$\ln (1 + x) = x - \frac 12 x^2 + \frac 13 x^3 + \omicron (x^3)$
归结原则：
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = A \implies\lim_{n \to +\infty} f(n) = A$
夹逼准则，除了下述的两条，还需灵活运用。
有限个项：$1 \cdot U_{max} \le U_1 + U_2 + \cdots + U_n \le n\cdot U_{max}$
无限个项：$n \cdot U_{min} \le U_1 + U_2 + \cdots + U_n \le n\cdot U_{max}$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{i=1}^n f(\frac in) = \int_0^1f(x)dx$

计算极限时常见的形式

$\cfrac 00, \cfrac {\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty$:化成倒三角形；根号差有理化；洛必达法则。
$\infty - \infty$:通分成一个分式在处理。
$\infty^0, 0^0$:使用$\lim u^v = e^{\lim v \ln u}$处理。
$1^\infty$:使用$\lim u^v = e^{\lim (u-1)v}$处理。

3 连续

定义:满足$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

性质:连续函数的和差积商仍为连续函数。 $f(x)$在$[a,b]$上连续,则:

$f(x)$在$[a,b]$上有界、
$f(x)$在$[a,b]$上有最大值，最小值
$m \le \mu \le M$，则至少存在一点$\xi \in [a,b]$,使$f(\xi) = \mu$
$f(a)f(b) \lt 0$，则至少存在一点$\xi \in [a,b]$,使$f(\xi) = 0$

间断

不满足$\displaystyle \underbrace {\lim_{x \to x_0^+} f(x)}_a = \underbrace{\lim_{x \to x_0^-} f(x)}_b = \underbrace{f(x_0)}_c$，这些点出现在无定义点、分段函数的分段点。
1.$a \neq b$: 跳跃间断点 2.$a = b \neq c$: 可去间断点 3.$a = \infty \ or \ b = \infty$: 无穷间断点 4.$a \ or \ b$振荡: 振荡间断点

1、2 为第一类间断点，3、4 为第二类间断点。